01.分数

　数式でよくでてくる分数（fraction）。分数「a/b」は「\frac{a}{b}」で書けるみたい。バックスラッシュ「\」で始まり、英語書いて、「{**}」で中身を記述。っていうのがLaTeX形式の書き方の基本っぽい。英語名知ってたら、覚えやすい感じだね。

\begin{align}
x=\frac{1}{2}
\end{align}

02.平方根

　中学数学から出てくる平方根（square root）。平方根「√x」は「\sqrt{x}」で書けるみたい。「sqrt」は「square root」の母音除いて4文字にした雰囲気。

\begin{align}
\sqrt{2}=1.41421356\cdots
\end{align}

平方根が出てきたので、n乗根も気になった調べてみました。n乗根「x」は「\sqrt[n]{\mathstrut x}」で書けるみたい。だけど、これはあんまり登場する機会はなさそう。

\begin{align}
\sqrt[3]{\mathstrut g}+\sqrt[5]{\mathstrut h}
\end{align}

03.円周率

　人類の大発明の１つ、円周率。円周率「π」は「\pi」で表現できるみたい。これは簡単！定数などは、「\」＋「**」で表現するみたい。

\begin{align}
\pi=3.141592\cdots
\end{align}

04.指数

　これは物理で頻繁に出現。指数をちっちゃく書くから、おっきく書く表現(exp x)があるくらい。指数「xのy乗」の書き方は、すごいシンプルでは「x^y」と普通に表現。

\begin{align}
E &= mc^2\\
e^{i\pi} &= -1
\end{align}

05.式の改行・文中に挿入

　式を改行させて「＝」位置を合わせたかったら、「&=」と記載みたい。数式を計算する際、よく出てくる書き方になりそう。

\begin{align}
x + y&=x + x + 2 \nonumber \\
&=2x + 2 \nonumber
\end{align}

06.組み合わせ・順列・重複順列

　これは滅多に使わなそう。「空っぽの{}」を先頭に書いて、添字「_**」を組み合わせて書くかんじ。こんな書き方もできるっていうくらいで覚えておこ。

\begin{align}
{}_n C _k\\
{}_n P _k\\
{}_n \Pi _k
\end{align}

07.対数

　対数「log」は添字「_**」使って表現。数学では常用対数、物理では自然対数を用いる機会が多いので、この辺りが初心者にとって、とっつきにくいところ。また、星の明るさを示す「等級」っていう尺度の理解で、対数が出てくるので、あとで使いそう！

\begin{align}
\log_2{x}&=2\\
\ln{e^x}&=x
\end{align}

08.和

　和「Σ」は「\sum」で表現。上に書く数字は「^**」、下に書く数字は「_**」で記述するみたい。指数や添字と書き方が似てる！

\begin{align}
\sum^n_{k=1}k &= 1+2+3+\cdots+n\\
F(x,y) &= \sum^h_{i=-1}A_i(x,y)G_i(x,y)
\end{align}

09.三角比と正弦関数・余弦関数

　星と星との距離を見積もる方法などで使用する三角比。星の距離を計算したいときは理解が必要。ちなみに、式\eqref{sin}は正弦関数，式\eqref{cos}は余弦関数のTalor展開。すごく懐かしい。

\begin{align}
\sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \label{sin} \\
\cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots \label{cos}
\end{align}

10.連立方程式

　連立方程式みたいな記述は、改めて「\begin」「\end」で括ったら書けるみたい。

\begin{align}
\left[
\begin{array}{ccc}
x+y &= 3\\
2x+y &= 8\\
\end{array}
\right.
\end{align}

\begin{align}
c_{k,l}=\left[
\begin{array}{ccc}
1 &(l=k) \\
\alpha &(|l-k|=1) \\
0 &(上記以外) \\
\end{array}
\right.
\end{align}

11.極限

　下に書く数字は「_**」で記述、「→」は「\to」で表現。和「Σ」の書き方と似てる。

\begin{eqnarray}
\lim_{x \to \infty} f(x)
\end{eqnarray}

12.微分

　微分は分数の書き方と同じ。偏微分で出てくる記号デル「∂」は「\partial」って記述すると書けるみたい。

\begin{eqnarray}
y = \cfrac{dx}{dy}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}&
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}=2\pi i f(z_0)
\label{eq:Cauchy-int}
\end{eqnarray}

13.ベクトルの微分

　Maxwell方程式などで頻繁に出てくる、ナブラ「▽」。逆三角形が数式に出現して、「なにこれ？」「宇宙語？」「意味わからん！」って感じたのを今でも覚えてる。数字が出てくる数式が算数に感じられてくる！詳しくは、あとで書きます！

\begin{eqnarray}
\nabla f = {\rm grad} f = \biggl (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \biggr)
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\nabla \cdot {\bf A} = {\rm div}{\bf A}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\nabla \times {\bf A} = {\rm rot}{\bf A}
\end{eqnarray}

14.積分

　積分の記号インテグラル「∫」は「\int」と記述。これは読み方の頭文字なので覚えやすい！

\begin{eqnarray}
F(\omega) &= \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\omega t}dt\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\int_V \nabla\cdot AdV &= \int_S A\cdot n dS\label{eq:gauss}
\end{eqnarray}

15.二重積分

　二重積分は「\int」を2回使用。「!」で隙間を狭くする工夫をしたりもするみたい。

\begin{eqnarray}
\int\!\!\!\int_Df(x,y)dxdy
\end{eqnarray}

16.行列・テンソル

　行列は「かっこ[**]」と連立方程式の組み合わせで記述。「ドット」は「\cdots」「\ddots」「\vdots」で表現。行列を拡張したテンソルも、行列と見た目は一緒なので、同じ方法で記述。テンソルの理解が一般相対性理論の理解への第一歩。

\begin{align}
w=\left[
\begin{array}{ccc}
w_{0,0} & \cdots & w_{0,n-1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
w_{n-1,0} & \cdots & w_{n-1,n-1} \\
\end{array}
\right]
\end{align}

　

　

　以上で学んだ方法で、物理でよく出てくる数式を、ちょっと書いてみました。

17.Newton方程式

古典力学の運動方程式。（物体の運動が光速に比べて遥かに遅い時に成立）

\begin{align}
F = ma
\end{align}

18.Euler-Laglange方程式

Newton方程式を、より数学的に定式化し直した運動方程式。（量子力学の足がかりになる方程式）

\begin{align}
\cfrac{d}{dt}\cfrac{\partial L}{\partial v_i} – \cfrac{\partial L}{\partial r_i} = 0
\end{align}

19.Maxwell方程式

　電磁場（＝電場＋磁場）を記述する、古典電磁気学の基礎方程式。（欠点は、ガリレイ変換できないこと。この欠点に着目して解決したのが、アインシュタイン）

\begin{align}
&{\rm div} {\bf E}({\bf r},t) = \cfrac{\rho}{\epsilon}\\
&{\rm rot} {\bf E}({\bf r},t) + \cfrac{\partial {\bf B}({\bf r},t) }{\partial t} = 0\\
&{\rm div} {\bf B}({\bf r},t) = 0\\
&{\rm rot} {\bf B}({\bf r},t) – \epsilon \mu \cfrac{\partial {\bf E}({\bf r},t)}{\partial t} = \mu {\bf i}({\bf r},t)
\end{align}

20.Schredinger方程式

　量子力学の基礎方程式。波動関数や状態関数と呼ばれるときもある。

\begin{align}
\biggl[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V({\bf r}) \biggr] \psi({\bf r},t) =i\hbar\frac{\partial\psi({\bf r},t)}{\partial t}
\end{align}

21.Einstein方程式

　万有引力・重力場を記述する方程式。一般相対性理論の主張「重力とは時空の歪みである」ということを説明する方程式。この式を理解することを目的に、物理学を再学習していきたい、と思います！

\begin{align}
G_{i,j} = \cfrac{8 \pi G}{c^4}T_{i,j}
\end{align}

これだけ数式かけたら、十分かな！？　次回からは、一般相対性理論を理解する上で欠かせない、数学のことを基礎から書いていきたい、と思います。